人教版 · 八年级下册 · 期末培优

八下数学期末培优卷　全六套 综合提升 + 压轴拔高 · 含四分位数与箱线图新考点

📚 二次根式 · 勾股定理 · 平行四边形 · 一次函数 · 数据分析新增 四分位数·箱线图
💯 每套满分 100 分🎯 培优难度⏱ 建议 90 分钟/套

📝 教研组长 · 培优说明

这六套是培优拔高卷，难度高于基础冲刺与常考特训：选择/填空设辨析与分类讨论，解答题含折叠、动点、一次函数综合、几何证明等压轴题型，适合冲刺 90 分以上的同学。

⭐ 特别说明：本卷系统融入了新课改新增考点「四分位数」与「箱线图」——这是数据分析章的新内容，近年各地期末高频命题。每套均设有相关选择、填空及综合解答题，请重点突破：会算 $Q_1$、$Q_2$、$Q_3$，会求四分位距，会读、会比较箱线图。

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1

培优卷（一）

二次根式·勾股定理·平行四边形·一次函数·数据分析（四分位数）

满分 100　及格 60
姓名：________　得分：______
一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）
1若 $\sqrt{(a-2)^2}=2-a$，则 $a$ 的取值范围是（　　）
A．$a>2$B．$a\geqslant2$C．$a<2$D．$a\leqslant2$
2下列计算正确的是（　　）
A．$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$B．$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$C．$\sqrt{6}\div\sqrt{2}=3$D．$(\sqrt{2})^2=4$
3一个直角三角形的两边长为 6 和 8，则第三边长为（　　）
A．$10$B．$2\sqrt{7}$C．$10$ 或 $2\sqrt{7}$D．无法确定
4如图，矩形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$，$\angle AOB=60°$，$AB=4$，则 $AC=$（　　）
A．$4$B．$6$C．$8$D．$4\sqrt{3}$
5一次函数 $y=(k-2)x+3$ 的值随 $x$ 增大而减小，则 $k$ 的取值范围是（　　）
A．$k>2$B．$k<2$C．$k>0$D．$k<0$
6将一组数据从小到大排列为 $60,65,68,70,72,75,78,80,85,88,95$，则这组数据的第一四分位数 $Q_1$ 是（　　）
A．$68$B．$70$C．$72$D．$75$
7已知 $x=\sqrt{3}-1$，则代数式 $x^2+2x+1$ 的值为（　　）
A．$3$B．$\sqrt{3}$C．$2\sqrt{3}$D．$4$
8下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C．对角线相等的菱形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
9比较大小：$3\sqrt{2}$ ______ $2\sqrt{3}$（填“$>$”“$<$”或“$=$”）。
10若最简二次根式 $\sqrt{3a-2}$ 与 $\sqrt{a+6}$ 可以合并，则 $a=$ ______。
11一组数据 $1,2,2,3,3,3,4,5$ 的中位数是 ______，第三四分位数 $Q_3$ 是 ______。
12直线 $y=2x-4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，则 $\triangle AOB$ 的面积为 ______。
13如图是某班 $15$ 名同学一分钟跳绳成绩的箱线图，则这组数据的极差为 ______，四分位距（$Q_3-Q_1$）为 ______。
三、计算题（每小题 6 分，共 18 分，需写出过程）
14计算：$\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{24}$
15计算：$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})-(\sqrt{2}-1)^2$
16先化简，再求值：$\left(\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\right)$，并求 $x=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$ 时 $x^2-4x+1$ 的值。
四、解答题（共 30 分，需写出推理或演算过程）
1710分【阅读理解】爱思考的小欢同学在解决问题：已知 $a=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$，求 $2a^2-8a+1$ 的值。他是这样分析的：$a=\dfrac{1}{2+\sqrt3}=\dfrac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}=2-\sqrt3$，∴$a-2=-\sqrt3$，$(a-2)^2=3$，即 $a^2-4a+4=3$，∴$a^2-4a=-1$，∴$2a^2-8a+1=2(a^2-4a)+1=-1$。请根据上述方法解决：
  1. 计算：$\dfrac{1}{\sqrt2+1}=$ ______；
  2. 若 $a=\dfrac{1}{\sqrt5+2}$，求 $a^2-4a-7$ 的值。
1810分如图，矩形纸片 $ABCD$ 中，$AB=8$，$BC=10$，点 $E$ 在 $CD$ 上，将 $\triangle BCE$ 沿 $BE$ 折叠，$C$ 恰好落在 $AD$ 上的 $F$ 处。
  1. 求 $AF$；
  2. 求 $CE$。
1910分某校竞赛从甲、乙两班各抽 $11$ 名学生成绩，甲为 $60,65,68,70,72,75,78,80,85,88,95$。
  1. 求甲班中位数、$Q_1$、$Q_3$；
  2. 已知乙班中位数 $78$、$Q_1=70$、$Q_3=82$，从四分位距角度分析哪班更整齐。
2

培优卷（二）

二次根式·勾股定理·特殊平行四边形·一次函数·箱线图

满分 100　及格 60
姓名：________　得分：______
一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）
1若 $\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（　　）
A．$x\geqslant1$B．$x\geqslant1$ 且 $x\neq2$C．$x>1$D．$x\neq2$
2下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．$3,4,5$B．$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$C．$5,12,13$D．$4,5,6$
3菱形的两条对角线长分别为 $6$ 和 $8$，则菱形的高为（　　）
A．$\dfrac{24}{5}$B．$5$C．$\dfrac{12}{5}$D．$\dfrac{48}{5}$
4把直线 $y=-2x+1$ 向上平移 $3$ 个单位，所得直线的解析式为（　　）
A．$y=-2x+4$B．$y=-2x-2$C．$y=x+1$D．$y=-2x+3$
5一组数据 $5,7,7,8,10,12,13,15$ 的第一四分位数 $Q_1$ 为（　　）
A．$7$B．$8$C．$6$D．$7.5$
6如图为甲、乙两班各 $40$ 名学生数学成绩的箱线图，下列说法正确的是（　　）
A．甲班成绩的中位数比乙班高B．乙班成绩的极差比甲班小C．甲班成绩比乙班更稳定D．两班成绩的中位数相同
7已知 $a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，则 $a^2+b^2$ 的值为（　　）
A．$10$B．$5$C．$2$D．$1$
8在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90°$，$AB=10$，$D$ 为斜边 $AB$ 的中点，则 $CD=$（　　）
A．$4$B．$5$C．$6$D．$8$
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
9计算：$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}=$ ______。
10若 $x=\sqrt{5}+2$，$y=\sqrt{5}-2$，则 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=$ ______。
11直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A$、$B$，则 $AB=$ ______。
12已知一组数据 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的方差为 $2$，则数据 $2x_1,2x_2,\cdots,2x_n$ 的方差为 ______。
13已知某组数据的第一四分位数 $Q_1=72$，第三四分位数 $Q_3=86$，则该组数据的四分位距为 ______；若把每个数据都加上 $5$，则新数据的四分位距为 ______。
三、计算题（每小题 6 分，共 18 分，需写出过程）
14计算：$(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)-(\pi-5)^0-|2-\sqrt{3}|$
15计算：$\sqrt{5}(1-\sqrt{20})+(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)$
16已知 $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$，$b=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$，求 $a^2+b^2-ab$ 的值。
四、解答题（共 30 分，需写出推理或演算过程）
1710分如图，在平面直角坐标系中，点 $A(1,3)$、$B(5,1)$，点 $P$ 是 $x$ 轴上的动点。
  1. 求 $PA+PB$ 的最小值；
  2. 求此时点 $P$ 的坐标。
1810分如图是甲、乙两班各 $40$ 名学生数学成绩的箱线图。
  1. 分别写出两班的中位数与极差；
  2. 分别求四分位距；
  3. 从四分位距角度判断哪个班更稳定，并说明理由。
1910分【规律探究】观察：$\dfrac{1}{\sqrt2+1}=\sqrt2-1$，$\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}=\sqrt3-\sqrt2$，$\dfrac{1}{\sqrt4+\sqrt3}=\sqrt4-\sqrt3$，$\cdots$
  1. 写出 $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=$ ______；
  2. 计算：$\dfrac{1}{\sqrt2+1}+\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$。
3

培优卷（三）

二次根式·勾股定理·正方形·一次函数·数据分析综合

满分 100　及格 60
姓名：________　得分：______
一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）
1实数 $a$ 在数轴上的位置如图所示（$0
A．$3$B．$2a-3$C．$3-2a$D．$2a+3$
2下列二次根式中，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（　　）
A．$\sqrt{12}$B．$\sqrt{8}$C．$\sqrt{16}$D．$\sqrt{24}$
3若直角三角形的两条直角边长为 $a$、$b$，且满足 $|a-3|+\sqrt{b-4}=0$，则斜边长为（　　）
A．$5$B．$7$C．$\sqrt{7}$D．$25$
4正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$E$ 为对角线 $BD$ 上一点，则 $AE+CE$ 的最小值为（　　）
A．$2$B．$2\sqrt{2}$C．$4$D．$2\sqrt{3}$
5若一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过点 $(0,2)$ 且不经过第四象限，则下列各组 $k$、$b$ 的值可能的是（　　）
A．$k=-1,b=2$B．$k=1,b=2$C．$k=1,b=-2$D．$k=-2,b=-1$
6数据 $13,11,16,15,15,18,12$ 的众数与第二四分位数（中位数）分别是（　　）
A．$15,15$B．$15,16$C．$15,13$D．$16,15$
7若 $\sqrt{2}
A．$\sqrt{3}-\sqrt{2}$B．$\sqrt{2}-\sqrt{3}$C．$2x-\sqrt{2}-\sqrt{3}$D．$\sqrt{2}+\sqrt{3}-2x$
8下列说法错误的是（　　）
A．四个角都相等的四边形是矩形B．四条边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
9若 $\sqrt{8}$ 的整数部分为 $a$，小数部分为 $b$，则 $a-b=$ ______。
10等腰三角形的两边长为 $\sqrt{12}$ 和 $\sqrt{27}$，则它的周长为 ______。
11如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$AE$ 平分 $\angle BAD$ 交 $BC$ 于 $E$，$AB=5$，$BC=8$，则 $EC=$ ______。
12一组数据 $2,3,3,4,6,7,8,9,9,9$ 共 $10$ 个，则它的第一四分位数 $Q_1=$ ______，第三四分位数 $Q_3=$ ______。
13一次函数 $y=(m-1)x+m^2-1$ 的图象经过原点，则 $m=$ ______。
三、计算题（每小题 6 分，共 18 分，需写出过程）
14计算：$\sqrt{24}\times\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\sqrt{48}\div(\sqrt{12}-\sqrt{3})$
15计算：$\dfrac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-(\sqrt{3}-1)^0+|{-2}|$
16已知 $x+y=\sqrt{6}$，$xy=1$，求 $\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}$ 的值。
四、解答题（共 30 分，需写出推理或演算过程）
1710分如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，$E$ 在 $CD$ 上，$DE=2$，将 $\triangle ADE$ 沿 $AE$ 折叠得 $\triangle AFE$，延长 $EF$ 交 $BC$ 于 $G$，连接 $AG$。
  1. 求证：$\triangle ABG\cong\triangle AFG$；
  2. 求 $BG$；
  3. 求 $EG$。
1810分某书店两种购书方案：A 不办卡，按原价 $0.8$ 倍付款；B 办卡（先付 $100$ 元），之后按原价 $0.6$ 倍付款。设原价合计 $x$ 元，付款 $y$ 元。
  1. 写出两方案 $y$ 关于 $x$ 的表达式；
  2. 原价多少时两方案花费相同？
  3. 若小红原价约 $800$ 元，应选哪种方案？
1910分某校抽取 $20$ 名学生每周课外阅读时间（小时）从小到大为 $2,3,3,4,4,4,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,10,11,12$。
  1. 求中位数与四分位距；
  2. 全校 $400$ 人，估计阅读不少于 $7$ 小时的人数；
  3. 若把阅读时间在 $Q_1$ 与 $Q_3$ 之间的视为“正常”，求“正常”人数占抽样的百分比。
4

培优卷（四）

二次根式·勾股定理·平行四边形·一次函数·四分位数

满分 100　及格 60
姓名：________　得分：______
一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）
1要使 $\sqrt{3-2x}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（　　）
A．$x\geqslant\dfrac{3}{2}$B．$x\leqslant\dfrac{3}{2}$C．$x>\dfrac{3}{2}$D．$x<\dfrac{3}{2}$
2计算 $\sqrt{18}-\sqrt{8}$ 的结果是（　　）
A．$\sqrt{10}$B．$\sqrt{2}$C．$2\sqrt{2}$D．$5\sqrt{2}$
3在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，$CD\perp AB$ 于点 $D$，则 $CD=$（　　）
A．$\dfrac{24}{5}$B．$\dfrac{48}{5}$C．$5$D．$\dfrac{24}{7}$
4下列条件中，能判定平行四边形 $ABCD$ 是矩形的是（　　）
A．$AB=BC$B．$AC\perp BD$C．$AC=BD$D．$AC$ 平分 $\angle BAD$
5一组数据 $12,15,18,22,26,30,35$ 的第一四分位数 $Q_1$ 是（　　）
A．$15$B．$18$C．$22$D．$12$
6已知点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 在一次函数 $y=-3x+1$ 的图象上，若 $x_1
A．$y_1B．$y_1>y_2$C．$y_1=y_2$D．无法确定
7若 $\sqrt{(2-a)^2}=a-2$，则 $a$ 满足（　　）
A．$a>2$B．$a\geqslant2$C．$a<2$D．$a\leqslant2$
8如图，平行四边形 $ABCD$ 中，$AE$ 平分 $\angle BAD$，$AB=3$，$BC=5$，则 $EC=$（　　）
A．$2$B．$3$C．$5$D．$8$
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
9化简：$\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=$ ______。
10若 $x=2+\sqrt{3}$，则 $x^2-4x+5=$ ______。
11菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC=8$，$BD=6$，则菱形的周长为 ______，面积为 ______。
12把直线 $y=2x+1$ 沿 $y$ 轴向下平移 $3$ 个单位后，与 $x$ 轴的交点坐标为 ______。
13某次数学考试，从一个班抽取 $7$ 名学生成绩为 $62,75,78,80,85,90,96$，则第三四分位数 $Q_3=$ ______。
三、计算题（每小题 6 分，共 18 分，需写出过程）
14计算：$\sqrt{12}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{8}\div\sqrt{2}$
15计算：$(\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{48}+(\dfrac{1}{2})^{-1}$
16先化简，再求值：$(1+\dfrac{1}{a-1})\div\dfrac{a}{a^2-1}$，其中 $a=\sqrt{2}+1$。
四、解答题（共 30 分，需写出推理或演算过程）
1710分【新定义】对于实数 $a$、$b$，定义运算“$\ast$”：$a\ast b=a^2-ab$。例如 $3\ast2=3^2-3\times2=3$。
  1. 计算：$(\sqrt3)\ast(\sqrt3-1)$；
  2. 若 $(\sqrt5)\ast x=5-2\sqrt5$，求 $x$。
1810分如图，四边形 $ABCD$ 中，$\angle B=90°$，$AB=3$，$BC=4$，$CD=12$，$AD=13$。
  1. 求四边形 $ABCD$ 的面积；
  2. 求点 $A$ 到 $CD$ 的距离。
1910分甲、乙两名运动员 $6$ 次成绩（环）：甲 $8,9,7,8,9,7$；乙 $6,10,8,9,7,8$。
  1. 分别求平均数；
  2. 分别求方差；
  3. 若选一名成绩更稳定的参赛，应选谁？
5

培优卷（五）

二次根式·勾股定理·矩形菱形正方形·一次函数·箱线图

满分 100　及格 60
姓名：________　得分：______
一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）
1下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A．$\sqrt{0.3}$B．$\sqrt{a^2+1}$C．$\sqrt{12}$D．$\sqrt{\dfrac{2}{5}}$
2若 $a<0$，则 $\sqrt{4a^2}=$（　　）
A．$2a$B．$-2a$C．$4a$D．$\pm2a$
3直角三角形两直角边分别为 $5,12$，则斜边上的中线长为（　　）
A．$\dfrac{13}{2}$B．$13$C．$6$D．$\dfrac{60}{13}$
4正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，则对角线 $AC$ 的长为（　　）
A．$1$B．$\sqrt{2}$C．$2$D．$\sqrt{3}$
5直线 $y=2x-4$ 与坐标轴围成的三角形面积为（　　）
A．$2$B．$4$C．$6$D．$8$
6某班 $5$ 个小组植树棵数为 $8,10,10,12,15$，这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．$10,10$B．$10,11$C．$11,10$D．$10,12$
7已知一组数据从小到大为 $a,12,16,b,25,30$（共 $6$ 个），其中位数为 $19$，第一四分位数为 $12$，则 $b=$（　　）
A．$20$B．$22$C．$24$D．$18$
8如图是某班一次测验成绩的箱线图，成绩在 $Q_1$ 到 $Q_3$ 之间的学生约占（　　）
A．$25\%$B．$50\%$C．$75\%$D．$100\%$
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
9若 $\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+2$ 有意义，则 $a=$ ______，该式的值为 ______。
10计算：$(2\sqrt{3}+\sqrt{6})(2\sqrt{3}-\sqrt{6})=$ ______。
11如图，矩形 $ABCD$ 对角线交于 $O$，$\angle AOD=120°$，$AC=8$，则 $AB=$ ______。
12直线 $y=kx+b$ 经过 $(1,2)$ 和 $(3,8)$，则 $k=$ ______，$b=$ ______。
13一组数据 $20$ 个，从小到大排列后，第一四分位数 $Q_1$ 是第 ______ 个与第 ______ 个数据的平均数。
三、计算题（每小题 6 分，共 18 分，需写出过程）
14计算：$\sqrt{27}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{12}$
15计算：$|\sqrt{3}-2|+(\sqrt{3}+2)^2-\sqrt{48}$
16已知 $a=\sqrt{2}-1$，求 $\dfrac{a^2-2a+1}{a-1}\cdot\dfrac{a}{a^2-a}$ 的值。
四、解答题（共 30 分，需写出推理或演算过程）
1710分如图，直线 $y=-\dfrac34x+3$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $A$、$B$。
  1. 求 $A$、$B$ 坐标及 $AB$；
  2. 点 $C$ 在 $x$ 轴上，$\triangle ABC$ 是以 $AB$ 为腰的等腰三角形，求 $C$ 的坐标。
1810分如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$P$ 从 $A$ 出发沿 $A\to B\to C$ 方向运动，设路程为 $x$，$\triangle APD$ 的面积为 $y$。
  1. 当 $P$ 在 $AB$ 上时，写出 $y$ 关于 $x$ 的关系式（注明范围）；
  2. 当 $P$ 在 $BC$ 上时，求 $y$ 的值；
  3. 求 $\triangle APD$ 面积的最大值。
1910分某校 $15$ 名学生跳绳成绩（个）从小到大为 $18,20,22,25,25,28,30,32,35,36,38,40,42,45,50$。
  1. 求中位数、$Q_1$、$Q_3$ 及四分位距；
  2. 画出箱线图（标五个关键值）；
  3. 若成绩低于 $Q_1$ 需加强训练，估计 $300$ 人中需加强训练的约多少人。
6

培优卷（六）

全章综合·压轴拔高·四分位数与箱线图

满分 100　及格 60
姓名：________　得分：______
一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）
1已知 $\sqrt{n}$ 是整数，且 $\sqrt{n}<\sqrt{20}$，则正整数 $n$ 的最大值对应的 $\sqrt n=$（　　）
A．$\sqrt{20}$B．$4$C．$5$D．$\sqrt{19}$
2等腰三角形的腰长为 $5$，底边长为 $6$，则底边上的高为（　　）
A．$4$B．$\sqrt{34}$C．$3$D．$\sqrt{61}$
3下列各式正确的是（　　）
A．$\sqrt{(-3)^2}=-3$B．$\sqrt{9}=\pm3$C．$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$D．$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
4直线 $y=2x-1$ 与 $y=-x+5$ 的交点坐标是（　　）
A．$(2,3)$B．$(3,2)$C．$(1,1)$D．$(2,1)$
5平行四边形 $ABCD$ 中，$\angle A:\angle B=2:1$，则 $\angle A=$（　　）
A．$60°$B．$120°$C．$90°$D．$100°$
6一组数据 $4,6,8,8,10,12,14,16$ 的第一四分位数与第三四分位数之差（四分位距）为（　　）
A．$4$B．$5$C．$6$D．$8$
7点 $P(a,b)$ 在第二象限，则直线 $y=ax+b$ 不经过（　　）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8关于箱线图，下列说法错误的是（　　）
A．箱线图能反映数据的最大值和最小值B．箱子的长度表示四分位距C．中位数一定在箱子的正中间D．箱线图可比较两组数据的离散程度
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
9若 $\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x+2}=\sqrt{x^2-4}$ 成立，则 $x$ 的取值范围是 ______。
10已知 $a,b$ 为实数，且 $\sqrt{a+2}+(b-\sqrt{3})^2=0$，则 $a+b=$ ______。
11如图，平行四边形对角线交于 $O$，$E$、$F$ 在 $BD$ 上且 $BE=DF$，已知 $S_{\triangle ABE}=3$，则 $S_{\triangle CDF}=$ ______。
12一组数据 $20,25,28,30,33,35,38,40,42,45$ 共 $10$ 个，则 $Q_1=$ ______，$Q_3=$ ______，四分位距 $=$ ______。
13一次函数 $y=kx+b$ 与 $y=2x$ 平行，且过点 $(1,5)$，则其解析式为 ______。
三、计算题（每小题 6 分，共 18 分，需写出过程）
14计算：$\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{2}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
15计算：$(\sqrt{5}+2)^{2024}\cdot(\sqrt{5}-2)^{2025}$
16已知 $x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$，求 $x^2-x-1$ 的值。
四、解答题（共 30 分，需写出推理或演算过程）
1710分【阅读理解】观察下列各式：$(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)=1$，$(\sqrt6+\sqrt5)(\sqrt6-\sqrt5)=1$，$\cdots$ 我们把两个非零实数的乘积为 $1$ 的数互称为“有理化因式”。利用有理化因式可将分母有理化。
  1. $\sqrt7-\sqrt6$ 的有理化因式是 ______；
  2. 计算：$\dfrac{1}{\sqrt3+1}+\dfrac{1}{\sqrt5+\sqrt3}+\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt5}+\dfrac{1}{3+\sqrt7}$。
1810分如图，正方形 $ABCD$ 中，$E$、$F$ 分别在 $BC$、$CD$ 上，$\angle EAF=45°$，$AB=6$，$BE=2$。
  1. 求证：$EF=BE+DF$；
  2. 求 $DF$ 的长。
1910分比较甲、乙两品种小麦产量稳定性，各取 $10$ 块田。甲（kg）从小到大为 $480,485,490,495,500,500,505,510,515,520$；乙的中位数 $500$、$Q_1=470$、$Q_3=530$。
  1. 求甲的中位数、$Q_1$、$Q_3$；
  2. 分别求两品种的四分位距；
  3. 从四分位距角度判断哪种更稳定，并简述四分位距与方差在描述稳定性上的共同点。
✓

参考答案与解析（全六套）

选择填空给答案，计算解答给分步过程

①

培优卷（一）　参考答案

选择题
1.D2.B3.C4.C5.B6.A7.A8.C
填空题
9．$>$
10．$4$
11．中位数 $3$；$Q_3$ 介于第6、7个数之间$=\dfrac{3+4}{2}=3.5$
12．$4$
13．极差 $=50-18=32$；四分位距 $=40-25=15$
计算题
14．原式 $=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$
15．原式 $=(5-3)-(2-2\sqrt{2}+1)=2-3+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1$
16．$x=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$。则 $x-2=\sqrt{3}$，$(x-2)^2=3$，$x^2-4x+4=3$，故 $x^2-4x+1=0$。
解答题
17．（1）$\dfrac{1}{\sqrt2+1}=\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=\sqrt2-1$。
（2）$a=\dfrac{1}{\sqrt5+2}=\sqrt5-2$，∴$a+2=\sqrt5$，$(a+2)^2=5$，$a^2+4a+4=5$，$a^2+4a=1$。又 $a^2-4a-7$ 需另算：由 $a=\sqrt5-2$，$a^2=(\sqrt5-2)^2=9-4\sqrt5$，∴$a^2-4a-7=9-4\sqrt5-4(\sqrt5-2)-7=9-4\sqrt5-4\sqrt5+8-7=10-8\sqrt5$。
18．（1）$BF=BC=10$，$AF=\sqrt{100-64}=6$。
（2）$DF=4$，设 $CE=x$，$FE=x$，$DE=8-x$，$(8-x)^2+16=x^2$，$x=5$，$CE=5$。
19．（1）中位数 $=75$，$Q_1=68$，$Q_3=85$。
（2）甲四分位距 $=17$，乙 $=12$，$12<17$，∴乙班成绩更整齐。
②

培优卷（二）　参考答案

选择题
1.B2.D3.A4.A5.A6.C7.A8.B
填空题
9．$\sqrt{3}$
10．$\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{2\sqrt{5}}{1}=2\sqrt{5}$
11．$A(4,0),B(0,3)$，$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$
12．$8$
13．$14$；仍为 $14$（整体平移不改变四分位距）
计算题
14．原式 $=(3-4)-1-(2-\sqrt{3})=-1-1-2+\sqrt{3}=\sqrt{3}-4$
15．原式 $=\sqrt{5}-\sqrt{100}+(7-1)=\sqrt{5}-10+6=\sqrt{5}-4$
16．$a=\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{2}-1$。$a+b=2\sqrt{2}$，$ab=1$。$a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab=(2\sqrt{2})^2-3=8-3=5$。
解答题
17．（1）作 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'(1,-3)$，$PA+PB=PA'+PB\geqslant A'B=\sqrt{(5-1)^2+(1+3)^2}=4\sqrt2$，∴最小值 $4\sqrt2$。
（2）直线 $A'B$：由 $A'(1,-3),B(5,1)$ 斜率 $=1$，$y=x-4$，令 $y=0$ 得 $x=4$，∴$P(4,0)$。
18．（1）甲中位数 $80$、极差 $95-60=35$；乙中位数 $82$、极差 $100-50=50$。
（2）甲四分位距 $=18$，乙 $=14$。
（3）乙四分位距更小，中间 $50\%$ 成绩更集中，∴乙班更稳定（极差大是受个别极端值影响）。
19．（1）$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\sqrt{n+1}-\sqrt n$。
（2）原式 $=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})=\sqrt{100}-1=10-1=9$。
③

培优卷（三）　参考答案

选择题
1.A2.B3.A4.B5.B6.A7.A8.C
填空题
9．$\sqrt8=2\sqrt2\approx2.83$，$a=2$，$b=2\sqrt2-2$，$a-b=2-(2\sqrt2-2)=4-2\sqrt2$
10．$\sqrt{12}=2\sqrt3,\sqrt{27}=3\sqrt3$。两种：腰 $2\sqrt3$ 时 $2\sqrt3+2\sqrt3+3\sqrt3=7\sqrt3$；腰 $3\sqrt3$ 时 $=8\sqrt3$。均满足三角形不等式，周长为 $7\sqrt3$ 或 $8\sqrt3$
11．$3$（$BE=AB=5$，$EC=BC-BE=3$）
12．$Q_1$ 为前 5 个的中位数 $=3$；$Q_3$ 为后 5 个的中位数 $=9$
13．过原点需 $m^2-1=0$ 且 $m-1\neq0$，∴$m=-1$
计算题
14．原式 $=\sqrt{36}+4\sqrt{3}\div\sqrt{3}=6+4=10$
15．原式 $=\dfrac{2\sqrt5+\sqrt5}{\sqrt5}-1+2=3-1+2=4$
16．$\sqrt{\dfrac xy}+\sqrt{\dfrac yx}=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt6}{\sqrt1}=\sqrt6$（$x,y>0$）。
解答题
17．（1）折叠得 $AF=AD=AB$，$\angle AFG=\angle B=90°$，$AG=AG$，∴$\mathrm{Rt}\triangle ABG\cong\mathrm{Rt}\triangle AFG$（HL）。
（2）设 $BG=FG=x$，$EF=2$，$EG=2+x$，$EC=4$，$GC=6-x$，$(2+x)^2=16+(6-x)^2$，$x=3$，$BG=3$。
（3）$EG=2+3=5$。
18．（1）A：$y=0.8x$；B：$y=0.6x+100$。
（2）$0.8x=0.6x+100$，$x=500$。
（3）$x=800$ 时 A $=640$、B $=580$，选 B。
19．（1）中位数 $=6.5$，$Q_1=4$，$Q_3=8.5$，四分位距 $=4.5$。
（2）$\geqslant7$ 的有 $10$ 人，估计 $400\times0.5=200$ 人。
（3）$Q_1$ 与 $Q_3$ 之间约占 $50\%$，即约 $10$ 人，占 $50\%$。
④

培优卷（四）　参考答案

选择题
1.B2.B3.A4.C5.A6.B7.B8.A
填空题
9．$|\sqrt3-2|=2-\sqrt3$
10．$x-2=\sqrt3,(x-2)^2=3,x^2-4x+4=3,x^2-4x+5=4$
11．周长 $20$；面积 $\dfrac12\times8\times6=24$
12．平移后 $y=2x-2$，令 $y=0$ 得 $x=1$，交点 $(1,0)$
13．$n=7$，去掉正中间第 4 个数后，上半部分为 $85,90,96$，其中位数 $Q_3=90$
计算题
14．原式 $=\dfrac{\sqrt{36}}{2}-\sqrt4=3-2=1$
15．原式 $=(3+2\sqrt3+1)-4\sqrt3+2=4+2\sqrt3-4\sqrt3+2=6-2\sqrt3$
16．原式 $=\dfrac{a-1+1}{a-1}\cdot\dfrac{(a-1)(a+1)}{a}=\dfrac{a}{a-1}\cdot\dfrac{(a-1)(a+1)}{a}=a+1$。当 $a=\sqrt2+1$ 时，原式 $=\sqrt2+2$。
解答题
17．（1）$(\sqrt3)\ast(\sqrt3-1)=(\sqrt3)^2-\sqrt3(\sqrt3-1)=3-(3-\sqrt3)=\sqrt3$。
（2）$(\sqrt5)\ast x=5-\sqrt5\,x=5-2\sqrt5$，∴$\sqrt5\,x=2\sqrt5$，$x=2$。
18．（1）$AC=5$，$5^2+12^2=13^2$，$\angle ACD=90°$，$S=6+30=36$。
（2）设 $A$ 到 $CD$ 距离为 $h$，$S_{\triangle ACD}=\dfrac12\times CD\times h=\dfrac12\times12\times h=30$，$h=5$。
19．（1）$\bar x_甲=8$，$\bar x_乙=8$。
（2）$S^2_甲=\dfrac16(0+1+1+0+1+1)=\dfrac23$；$S^2_乙=\dfrac16(4+4+0+1+1+0)=\dfrac{10}{6}=\dfrac53$。
（3）$S^2_甲
⑤

培优卷（五）　参考答案

选择题
1.B2.B3.A4.B5.B6.A7.B8.B
填空题
9．$a=3$；值为 $2$
10．$12-6=6$
11．$\angle AOB=60°$，$OA=OB=4$，$\triangle AOB$ 等边，$AB=4$
12．$k=3,b=-1$
13．前 10 个的中位数，即第 $5$、$6$ 个数据的平均数
计算题
14．原式 $=3\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}+2\sqrt3=5\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{14\sqrt3}{3}$
15．原式 $=(2-\sqrt3)+(3+4\sqrt3+4)-4\sqrt3=2-\sqrt3+7+4\sqrt3-4\sqrt3=9-\sqrt3$
16．原式 $=\dfrac{(a-1)^2}{a-1}\cdot\dfrac{a}{a(a-1)}=\dfrac{(a-1)\cdot a}{a(a-1)}=1$。（与 $a$ 取值无关，值恒为 $1$，注意 $a=\sqrt2-1\neq0,1$）
解答题
17．（1）$A(4,0)$，$B(0,3)$，$AB=5$。
（2）① $CA=AB=5$：$C(9,0)$ 或 $(-1,0)$；② $CB=AB=5$：$\sqrt{c^2+9}=5$，$c=\pm4$，$c=4$ 舍，得 $(-4,0)$。∴$C$ 为 $(9,0)$、$(-1,0)$ 或 $(-4,0)$。
18．（1）$P$ 在 $AB$ 上（$0\leqslant x\leqslant4$）时，底 $AP=x$、高 $AD=4$，$y=\dfrac12\cdot x\cdot4=2x$。
（2）$P$ 在 $BC$ 上（$4\leqslant x\leqslant8$）时，底 $AD=4$、高恒为 $AB=4$，$y=8$。
（3）最大值为 $8$。
19．（1）中位数 $=32$，$Q_1=25$，$Q_3=40$，四分位距 $=15$。
（2）五数：$18,25,32,40,50$。
（3）低于 $25$ 的有 $18,20,22$ 共 $3$ 人，频率 $\dfrac{3}{15}=0.2$，估计 $300\times0.2=60$ 人。
⑥

培优卷（六）　参考答案

选择题
1.B2.A3.C4.A5.B6.C7.C8.C
填空题
9．$x\geqslant2$（需 $x-2\geqslant0$ 且 $x+2\geqslant0$）
10．$a=-2,b=\sqrt3$，$a+b=\sqrt3-2$
11．$3$（由 $\triangle ABE\cong\triangle CDF$）
12．$Q_1$ 为前 5 个的中位数 $=28$；$Q_3$ 为后 5 个的中位数 $=40$；四分位距 $=12$
13．平行 $\Rightarrow k=2$；过 $(1,5)$：$2+b=5$，$b=3$。$y=2x+3$
计算题
14．原式 $=2\sqrt2+3\sqrt2-\sqrt2-\dfrac{\sqrt2}{2}=4\sqrt2-\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{7\sqrt2}{2}$
15．原式 $=[(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)]^{2024}\cdot(\sqrt5-2)=(5-4)^{2024}\cdot(\sqrt5-2)=1\cdot(\sqrt5-2)=\sqrt5-2$
16．$x=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\Rightarrow2x-1=\sqrt5\Rightarrow(2x-1)^2=5\Rightarrow4x^2-4x+1=5\Rightarrow4x^2-4x=4\Rightarrow x^2-x=1$。∴$x^2-x-1=0$。
解答题
17．（1）$\sqrt7+\sqrt6$（因 $(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)=1$）。
（2）每项分母有理化：$\dfrac{1}{\sqrt3+1}=\dfrac{\sqrt3-1}{2}$，$\dfrac{1}{\sqrt5+\sqrt3}=\dfrac{\sqrt5-\sqrt3}{2}$，$\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt7-\sqrt5}{2}$，$\dfrac{1}{3+\sqrt7}=\dfrac{3-\sqrt7}{2}$。原式 $=\dfrac{(\sqrt3-1)+(\sqrt5-\sqrt3)+(\sqrt7-\sqrt5)+(3-\sqrt7)}{2}=\dfrac{3-1}{2}=1$。
18．（1）把 $\triangle ADF$ 绕 $A$ 旋转到 $\triangle ABG$（$G$ 在 $CB$ 延长线上），则 $\angle GAE=\angle GAB+\angle BAE=\angle DAF+\angle BAE=45°=\angle EAF$，又 $AG=AF$、$AE=AE$，∴$\triangle AGE\cong\triangle AFE$，∴$EF=GE=GB+BE=DF+BE$。
（2）设 $DF=x$，则 $EF=2+x$，$CE=6-2=4$，$CF=6-x$，$\mathrm{Rt}\triangle ECF$：$(2+x)^2=16+(6-x)^2$，$4+4x+x^2=16+36-12x+x^2$，$16x=48$，$x=3$，$DF=3$。
19．（1）甲中位数 $=500$，$Q_1=490$，$Q_3=510$。
（2）甲四分位距 $=20$，乙 $=60$。
（3）中位数相同时甲四分位距更小，∴甲更稳定。共同点：四分位距与方差都越小，说明数据越集中、波动越小、越稳定。

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